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Mathematik-Online-Lexikon:

Dreigliedrige Rekursion für orthogonale Polynome

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Die orthogonalen Polynome

$\displaystyle q_n(x) = x^n + O(x^{n-1}) $

zu einer Gewichtsfunktion $ w$ auf einem Intervall $ (a,b)$ können rekursiv berechnet werden:

$\displaystyle q_{n+1} = (\xi-\beta_n)q_n - \gamma_n q_{n-1},\quad n>1 \,, $

mit $ \xi(x) = x$. Die Koeffizienten lassen sich mit Hilfe des Skalarproduktes $ \langle f,g \rangle = \int_a^b fg\ w$ ausdrücken:

$\displaystyle \beta_n = \langle \xi q_n,q_n \rangle / \varrho_n, \quad \gamma_n = \varrho_n/\varrho_{n-1} $

mit $ \varrho_n = \langle q_n,q_n \rangle$.

Wählt man für die orthogonalen Polynome die andere Normierung

$\displaystyle p_n(x) = \alpha_n x^n + O(x^{n-1}) \,, $

so ändert sich die Rekursion entsprechend:

$\displaystyle p_{n+1} = \frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n} (\xi - \beta^\prime_n) ... ...- \frac{\alpha_{n-1}\alpha_{n+1}}{\alpha_n^2} \gamma^\prime_n p_{n-1} \,. $

Dabei deutet der Apostroph an, dass die Koeffizienten $ \beta^\prime_n$ und $ \gamma^\prime_n$ durch die Polynome $ p_n$ definiert sind.

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013