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Mathematik-Online-Lexikon:

Trapezregel

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Die Näherung

$\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx \approx s_h f = h (f(a)/2 + f(a+h) + \cdots + f(b-h) + f(b)/2) $

approximiert das Integral durch eine Summe von Trapezflächen.

\includegraphics[width=.95\moimagesize]{trapez3}

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion gilt für den Fehler:

$\displaystyle s_h f - \int_a^b f = \frac{b-a}{12} f\,'\,'(r) h^2, $

für ein $ r\in[a,b]$.

Genauer besitzt der Fehler für glatte Funktionen die asymptotische Entwicklung

$\displaystyle s_h f - \int_a^b f = c_1(f^\prime(b)-f^\prime(a))h^2 + c_2(f^{\prime\prime\prime}(b)-f^{\prime\prime\prime}(a)) h^4 + \dots $

mit von $ f$ und $ h$ unabhängigen Konstanten $ c_j$. Daraus folgt, dass die Trapezregel für $ (b-a)$-periodische Funktionen sehr genau ist. Der Fehler strebt schneller als jede $ h$-Potenz gegen Null.

Erläuterung:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013