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Mathematik-Online-Lexikon:

Tabelle der klassischen orthogonalen Polynome

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In der folgenden Tabelle sind die Parameter der klassischen orthogonalen Polynome zusammengestellt. Die Legendre- und Tschebyscheff-Polynome sind dabei spezielle Jacobi-Polynome mit den Exponenten $ r=s=0$ bzw. $ r=s=-1/2$.

  Jacobi Laguerre Hermite
$ [a,b]$ $ [-1,1]$ $ [0,\infty)$ $ (-\infty,\infty)$
$ w(x)$ $ (1+x)^r(1-x)^s$ $ \exp(-x)$ $ \exp(-x^2)$
$ \varrho_n$ $ \displaystyle \frac{2^{r+s+1}\Gamma(n+r+1)\Gamma(n+s+1)} {n!(2n+r+s+1)\Gamma(n+r+s+1)}$ $ 1$ $ 2^n n! \sqrt{\pi}$
$ \alpha_n$ $ \displaystyle{2n+r+s \choose n} / 2^n$ $ \displaystyle \frac{(-1)^n}{n!}$ $ 2^n$
$ \beta_n$ $ \displaystyle \frac{(r^2-s^2)}{(2n+r+s)(2n+r+s+2)}$ $ 2n+1$ 0
$ \gamma_n$ $ \displaystyle \frac{(n+r)(n+s)(2n+r+s+2)}{(n+1)(n+r+s+1)(2n+r+s)}$ $ \displaystyle \frac{n}{n+1}$ $ 2n$

Die Polynome

$\displaystyle p_n(x) = \alpha_n x^n + O(x^{n-1}) $

sind bzgl. des Skalarproduktes

$\displaystyle \langle f,g \rangle = \int_a^b f g w $

orthogonal. Sie erfüllen die dreigliedrige Rekursion

$\displaystyle p_{n+1} = \frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n} (\xi-\beta_n)p_n - \gamma_n p_{n-1} $

mit $ \xi(x) = x$. Die Koeffizienten berechnen sich dabei aus den Normierungskonstanten $ \varrho_n = \langle p_n,p_n \rangle$:

$\displaystyle \beta_n = \frac{\langle \xi q_n,q_n \rangle}{ \varrho_n}, \quad... ..._n = \frac{\alpha_{n-1}\alpha_{n+1}\varrho_n}{ \alpha_n^2\varrho_{n-1}} \,. $

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013