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Mathematik-Online-Lexikon:

Sekanten-Verfahren

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Zwei hinreichend gute Näherungen $ x_{\ell-1}$, $ x_\ell$ einer Nullstelle $ x_*$ von $ f$ können im Allgemeinen durch Bestimmung der Nullstelle der interpolierenden Gerade,

$\displaystyle x_{\ell+1} = \frac{x_{\ell-1}f(x_\ell)-x_\ell f(x_{\ell-1})}{f(... ...x_\ell - \frac{(x_\ell - x_{\ell-1}) f(x_\ell)}{f(x_\ell)-f(x_{\ell-1})} \,, $

verbessert werden. Die wiederholte Anwendung dieser linearen Approximation wird als Sekanten-Verfahren bezeichnet.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Bild_sekanten}

Ist die approximierte Nullstelle $ x_*$ einfach, so besitzt das Verfahren die Konvergenzordnung $ r = (1+\sqrt{5})/2=1.618\ldots$. Genauer gilt für den Fehler $ e_\ell = \vert x_\ell - x_*\vert$

$\displaystyle \lim_{\ell\to\infty} \frac{e_{\ell+1}}{e_\ell^r} = \left\vert\frac{f^{\prime\prime}(x_*)}{2f^\prime(x_*)} \right\vert^{1/r} \,. $

Berücksichtigt man, dass pro Iterationsschritt nur eine Funktionsauswertung erforderlich ist, so ist das Sekanten-Verfahren etwas effizienter als die Newton-Iteration ($ r^2>2$).

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013