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Mathematik-Online-Lexikon:

Fourier-Basis

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Die Fourier-Basis ist eine orthogonale Basis im $ \mathbb{C}^n$, die mit Hilfe von Potenzen der Einheitswurzel

$\displaystyle w_n = \exp(2\pi\mathrm{i}/n) $

gebildet wird. Die Basisvektoren sind

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} w_n^{0\cdot 0} \\ \vdots \\ w_n^{0\cdot (n... ..._n^{(n-1)\cdot 0} \\ \vdots \\ w_n^{(n-1)\cdot (n-1)} \end{array}\right)\; . $

Die Orthogonalität überprüft man leicht. Das komplexe Skalarprodukt des $ (j+1)$-ten und $ (k+1)$-ten Basisvektors ist

$\displaystyle \sum_{\ell=0}^{n-1} w_n^{j\ell} \overline{w_n^{k\ell}} = \sum_\ell w_n^{(j-k)\ell} = \frac{w_n^{(j-k)n} - 1}{w_n^{j-k}-1}\, , $

und da $ w_n^n=1$ ist der Zähler Null.

Für $ n=4$ ist $ w_4 = \exp(2\pi\mathrm{i}/4)=\mathrm{i}$, und man erhält die Basisvektoren

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\, , \l... ...t(\begin{array}{c} 1 \\ -\mathrm{i} \\ -1 \\ \mathrm{i} \end{array}\right)\, . $

siehe auch:

[Beispiele]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013