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Mathematik-Online-Lexikon:

Korrelation und Kovarianz


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Sind $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ Zufallsvariablen, so heißt

$ \mbox{$\displaystyle
{\operatorname{Cov}}(X,Y) := {\operatorname{E}}\bigl((X-{\operatorname{E}}(X))(Y-{\operatorname{E}}(Y))\bigr)
$}$
die Kovarianz von $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$. Insbesondere ist $ \mbox{${\operatorname{Cov}}(X,X)={\operatorname{Var}}(X)$}$. Der Korrelationskoeffizient
$ \mbox{$\displaystyle
\rho(X,Y) := \frac{{\operatorname{Cov}}(X,Y)}{\sqrt{{\operatorname{Var}}(X){\operatorname{Var}}(Y)}}
$}$
von $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ liegt im Intervall $ \mbox{$[-1,1]$}$. $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ heißen unkorreliert, falls $ \mbox{${\operatorname{Cov}}(X,Y) =0$}$ gilt.

Eigenschaften der Kovarianz

Eine zweidimensionale Stichprobe $ \mbox{$(X_1,Y_1)$}$, $ \mbox{$(X_2,Y_2)$}$,..., $ \mbox{$(X_n,Y_n)$}$ ( $ \mbox{$n\geq 2$}$) besteht aus gleichverteilten Zufallsvariablen $ \mbox{$X_1$}$,..., $ \mbox{$X_n$}$ und $ \mbox{$Y_1$}$,..., $ \mbox{$Y_n$}$ und erfüllt folgende Unabhängigkeitsbedingung. Gegeben $ \mbox{$c_i,d_i\in\mathbb{R}$}$, so soll

$ \mbox{$\displaystyle
P({\mbox{{$\mbox{$X_i\leq c_i$}$} und {$\mbox{$Y_i\leq d...
...= 1}^n P({\mbox{{$\mbox{$X_i\leq c_i$}$} und {$\mbox{$Y_i\leq d_i$}$}}})\; .
$}$

Seien nun empirischer Mittelwerte $ \mbox{$\bar X$}$, $ \mbox{$\bar Y$}$, empirischer Varianzen $ \mbox{$S^2_X$}$, $ \mbox{$S^2_Y$}$ und insbesondere empirische Kovarianz $ \mbox{$S^2_{XY}$}$ und empirischer Korrelationskoeffizient wie folgt definiert. (Hierbei unterlassen wir es, den Index $ \mbox{$n$}$ zu notieren.)

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\bar X & := & \frac{1}{n}(\sum_{i = ...
...m}\\
\rho_{XY} & := & \frac{S_{XY}}{S_X S_Y} \;\in [-1,1] \\
\end{array}$}$
Die empirische Kovarianz ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Kovarianz.

Für eine Realisierung $ \mbox{$(x_1,y_1)$}$, $ \mbox{$(x_2,y_2)$}$,..., $ \mbox{$(x,y)$}$ einer solchen zweidimensionalen Stichprobe schreiben wir entsprechend

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\bar x & := & \frac{1}{n}(\sum_{i = ...
...}\\
\rho_{xy} & := & \frac{s_{xy}}{s_x s_y}\;\in [-1,1] . \\
\end{array}$}$

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

Beispiel:


[Verweise]

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006