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Mathematik-Online-Lexikon:

Orthogonale Basis

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Eine Basis $ B = \{u_1,\dots,u_n\}$ heißt orthogonal, wenn

$\displaystyle \langle u_i,u_j \rangle = 0,\quad i \neq j\, . $

Sind die Basisvektoren normiert, d.h. ist $ \vert u_i\vert = 1$, so spricht man von einem Orthonormalsystem oder einer Orthonormalbasis.

Ein Vektor $ v$ besitzt bzgl. einer orthogonalen Basis $ u_1,\ldots,u_n$ die Darstellung

$\displaystyle v = \sum_{j=1}^n c_j u_j\,, \quad c_j = \frac{\langle v,u_j\rangle}{\vert u_j\vert^2}\,. $

Für die Koeffizienten $ c_j$ gilt

$\displaystyle \vert c_1\vert^2 \vert u_1\vert^2 + \cdots + \vert c_n\vert^2 \vert u_n\vert^2 = \vert v\vert^2\, . $

Für eine normierte Basis fallen die Terme $ \vert u_j\vert^2$ weg, und es ergibt sich

$\displaystyle c_j = \langle v,u_j\rangle\,,\quad \vert c_1\vert^2 + \cdots + \vert c_n\vert^2 = \vert v\vert^2\,. $

siehe auch:

[Erläuterungen] [Beispiele]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013