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Mathematik-Online-Lexikon:

Lokal orthogonales Koordinatensystem

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Eine Koordinatentransformation $ x=\varphi(y)$ ist lokal orthogonal, wenn die Spalten der Jacobi-Matrix

$\displaystyle \partial_\nu\varphi = s_\nu e_\nu,\quad s_\nu > 0\,, \quad \vert e_\nu\vert=1\, , $

orthogonal sind. Daraus folgt insbesondere, dass achsenparallele Hyperebenen durch $ \varphi$ auf ein orthogonales Flächennetz abgebildet werden.

Aus der Kettenregel folgt für die Transformation des Gradienten einer skalaren Funktion $ f(x)=g(y)$:

$\displaystyle \operatorname{grad}f = \sum_\nu(\partial_\nu g /s_\nu)\,e_\nu\, , $

d.h. die Koeffizienten bzgl. der Basis $ \{e_\nu\}$ erhält man durch Division durch die Skalierungsfaktoren $ s_\nu$. Mit Hilfe dieser Identität lassen sich partielle Ableitungen auf einfache Weise umrechnen.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013