Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] Englische Flagge

Mathematik-Online-Lexikon:

Normalengleichungen


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Für eine beliebige $ m \times n$ Matrix A erfüllt jede Lösung $ x$ des Ausgleichsproblems

$\displaystyle \vert Ax-b\vert \rightarrow \min
$

die Normalengleichungen

$\displaystyle A^{\mathrm{t}} Ax = A^{\mathrm{t}} b\,,
$

d.h. das Residuum $ r=Ax-b$ ist orthogonal zu dem von den Spalten von $ A$ aufgespannten Unterraum $ \operatorname{Bild} A\,.$
\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalengleichungen}

Geometrisch bedeuten die Gleichungen, dass das Residuum $ r=Ax-b$ senkrecht auf den Spalten der Matrix $ A$ steht.

Die Matrix $ A^{\mathrm{t}} A$ ist quadratisch und hat Dimension $ n$. Sie ist genau dann invertierbar, wenn $ \operatorname{Rang} A = n$, d.h. wenn die Spalten von $ A$ linear unabhängig sind. Die Normalengleichungen sind auch im singulären Fall lösbar, die Lösung ist dann jedoch nicht eindeutig.

Beispiele:


[Erläuterungen] [Verweise]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013