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Mathematik-Online-Lexikon:

Gauß-Seidel-Verfahren

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Das Gauß-Seidel-Verfahren für ein lineares Gleichungssystem $ Ax=b$ entsteht aus dem Jacobi-Verfahren, indem man den Näherungsvektor elementweise neu bestimmt und für die Berechnung der $ k$-ten Komponente der nächsten Näherung bereits die neuen Daten der ersten $ k-1$ Komponenten verwendet. Dies entspricht einer Aufteilung der Matrix $ A$ in eine Diagonalmatrix $ D$, eine linke Dreiecksmatrix $ L$ und eine rechte Dreiecksmatrix $ R$. Ein Iterationsschritt $ x_\ell=y\rightarrow z=x_{\ell+1}$ hat somit die Form

$\displaystyle z = -D^{-1}(Lz +Ry)+D^{-1}b \,, $

bzw. nach $ z$ aufgelöst,

$\displaystyle z = -(L+D)^{-1}Ry+(L+D)^{-1}b \,. $

Dabei muss die Iterationsmatrix $ Q=-(L+D)^{-1}R$ nicht explizit berechnet werden. Für eine $ n \times n$ Matrix $ A$ ist

$\displaystyle z_j = \frac{1}{a_{j,j}}\left( b_j - \sum \limits_{k<j} a_{j,k} z_k - \sum \limits_{k>j} a_{j,k} y_k \right)\,,\quad j = 1,\dots,n. $

Bei der sukzessiven Ausführung der Operationen kann auch $ z = y$ gesetzt werden. Die Vektorelemente werden dann automatisch in der gewünschten Weise überschrieben.

Wie das Jacobi-Verfahren konvergiert auch das Gauß-Seidel-Verfahren für diagonaldominante Matrizen $ A$. Darüber hinaus konvergiert es für symmetrische, positiv definite Matrizen $ A$.

Beispiele:

[Erläuterungen] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013