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Mathematik-Online-Lexikon:

Pseudo-Inverse

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Mit der Singulärwert-Zerlegung $ USV^*$ einer komplexen $ (m\times n)$-Matrix $ A$ lässt sich die Lösung des Ausgleichsproblems $ \vert Ax-b\vert\to\min$ mit minimaler Norm in der Form

$\displaystyle x = A^+b,\quad A^+ = VS^+U^*, $

schreiben, wobei $ A^+$ als Pseudo-Inverse von $ A$ bezeichnet wird, und

$\displaystyle S^+ = \operatorname{diag}(1/s_1,\ldots,1/s_k,0,\ldots,0), \quad k = \operatorname{Rang} A \,, $

die $ (n \times m)$-Diagonalmatrix mit den Kehrwerten der positiven singulären Werte ist.

Bezeichnen $ \{u_1,\ldots,u_m\}$ und $ \{v_1,\ldots,v_n\}$ die orthonormalen Basen aus den Spalten von $ U$ bzw. $ V$, so lässt sich die lineare Abbildung $ b\mapsto x= A^+b$ in der faktorisierten Form

$\displaystyle x = \sum_{\ell=1}^k \frac{1}{s_\ell}\,(u^*_\ell b)v_\ell $

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass

$\displaystyle \operatorname{Kern}A^+ = \operatorname{span} \{u_{k+1},\ldots,u_m\},\quad \operatorname{Bild}A^+ = \operatorname{span} \{v_1,\ldots,v_k\} $

und $ \Vert A^+\Vert _2 = 1/s_k$.

siehe auch:

[Erläuterungen] [Beispiele]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013