Mathematik-Online-Lexikon: Multivariates Newton-Verfahren

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	Multivariates Newton-Verfahren

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Die Lösung $x_*\in\mathbb{R}^n$ eines nichtlinearen Gleichungssystems

$\displaystyle f_1(x_*) = \cdots = f_n(x_*) = 0$

kann mit der durch

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} f^\prime(x) \Delta x = f(x) \\ x\leftarrow x - \Delta x \end{array}\end{displaymath}$

definierten Newton-Iteration bestimmt werden.

Ist zweimal stetig partiell differenzierbar und die Jacobi-Matrix $f^\prime(x_*)$ invertierbar, so konvergiert das Verfahren quadratisch

$\displaystyle \left\vert x_{\text{neu}}-x_*\right\vert \le c \left\vert x_{\text{alt}}-x_*\right\vert^2$

für Starwerte in einer Umgebung

von

. Insbesondere ist $\det f^{\prime} (x) \neq 0$ für $x\in U$ , so dass das lineare Gleichungssystem für $\Delta x$ eindeutig lösbar ist.

Erläuterung:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013