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Mathematik-Online-Lexikon:

Hauptachsentransformation

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Durch eine Drehung und Verschiebung kann eine Quadrik im $ \mathbb{R}^n$ auf Normalform transformiert werden:

$\displaystyle x^{\operatorname t}A x + 2 b^{\operatorname t}x + c = \sum_{i=1}^m \lambda_i w_i^2 + 2\beta w_{m+1} + \gamma \,, \quad x=Uw+v \,, $

wobei $ m = \operatorname{Rang}A$ und $ \beta\gamma=0$ gilt.

\includegraphics[width=\moimagesize]{a_hauptachsentrafo}

Dabei enthalten die Spalten der Drehmatrix $ U$ die Eigenvektoren $ u_i$ zu den Eigenwerten $ \lambda_i$ von $ A$, deren Richtungen als Hauptachsen bezeichnet werden. Der Verschiebungsvektor $ v$ ist der Mittelpunkt der Quadrik.

Erläuterung:

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  automatisch erstellt am 13.  7. 2018