Mathematik-Online-Lexikon: Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken

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	Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken

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Übersicht

Es existieren 9 verschiedene Typen ebener Quadriken mit den folgenden Normalformen:

Kegelige Quadriken

Normalform Bezeichnung

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$ Punkt

$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$ schneidendes Geradenpaar

$\frac{x_1^2}{a_1^2}=0$ Doppelgerade
Mittelpunktsquadriken

Normalform Bezeichnung

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$ (leere Menge)

$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$ Hyperbel

$-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$ Ellipse

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$ (leere Menge)

$-\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$ paralleles Geradenpaar
Parabolische Quadriken

Normalform Bezeichnung

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+2x_2=0$ Parabel

Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes und bei kegeligen Quadriken bis auf Multiplikation mit einer Konstanten $c\ne 0$ . Die Größen werden positiv angesetzt und heißen Hauptachsenlängen der Quadrik.

schneidendes Geradenpaar	Doppelgerade
$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_5}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_6}$

Hyperbel	Ellipse
$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_3}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_1}$

paralleles Geradenpaar	Parabel
$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_4}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_2}$

Beispiel:

Beispiel: Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken

[Verweise]

automatisch erstellt am 13. 7. 2018

Normalform	Bezeichnung
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$	Punkt
$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$	schneidendes Geradenpaar
$\frac{x_1^2}{a_1^2}=0$	Doppelgerade

Normalform	Bezeichnung
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	(leere Menge)
$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	Hyperbel
$-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	Ellipse
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$	(leere Menge)
$-\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$	paralleles Geradenpaar