Mathematik-Online-Lexikon: Euklidische Normalformen der dreidimensionalen Quadriken

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	Euklidische Normalformen der dreidimensionalen Quadriken

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Übersicht

Es existieren 17 verschiedene Typen räumlicher Quadriken mit folgenden Normalformen:

Kegelige Quadriken

Normalform Bezeichnung

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+\frac{x_3^2}{a_3^2}=0$ Punkt

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}-\frac{x_3^2}{a_3^2}=0$ (Doppel-)Kegel

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$ Gerade

$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$ schneidende Ebenen

$\frac{x_1^2}{a_1^2}=0$ Doppelebene

Mittelpunktsquadriken

Normalform	Bezeichnung
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+\frac{x_3^2}{a_3^2}+1=0$	(leere Menge)
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}-\frac{x_3^2}{a_3^2}+1=0$	zweischaliges Hyperboloid
$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}-\frac{x_3^2}{a_3^2}+1=0$	einschaliges Hyperboloid
$-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}-\frac{x_3^2}{a_3^2}+1=0$	Ellipsoid
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	(leere Menge)
$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	hyperbolischer Zylinder
$-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	elliptischer Zylinder
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$	(leere Menge)
$-\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$	parallele Ebenen

Parabolische Quadriken

Normalform Bezeichnung

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+2x_3=0$ elliptisches Paraboloid

$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+2x_3=0$ hyperbolisches Paraboloid

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+2x_2=0$ parabolischer Zylinder

Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes und bei kegeligen Quadriken bis auf Multiplikation mit einer Konstanten $c\ne 0$ . Die Größen werden positiv angesetzt und heißen Hauptachsenlängen der Quadrik.

(Doppel-)Kegel	schneidende Ebenen

$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_kegel}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_schneidende_ebenen}$

zweischaliges Hyperboloid	einschaliges Hyperboloid

$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_zweischaliges_hyperboloid}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_einschaliges_hyperboloid}$

Ellipsoid	hyperbolischer Zylinder

$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_ellipsoid}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_hyperbolischer_zylinder}$

elliptischer Zylinder	elliptisches Paraboloid

$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_elliptischer_zylinder}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_paraboloid}$

hyperbolisches Paraboloid	parabolischer Zylinder

$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_hyperbolisches_paraboloid}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{quadriken_parabolischer_zylinder}$

siehe auch:

Stichwort: Quadrik

[Beispiele]

automatisch erstellt am 13. 7. 2018

Normalform	Bezeichnung
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+\frac{x_3^2}{a_3^2}=0$	Punkt
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}-\frac{x_3^2}{a_3^2}=0$	(Doppel-)Kegel
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$	Gerade
$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$	schneidende Ebenen
$\frac{x_1^2}{a_1^2}=0$	Doppelebene