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Mathematik-Online-Lexikon:

Kritischer Punkt


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Für eine skalare Funktion $ f$ bezeichnet man $ x$ als kritischen Punkt, wenn grad$ \,f(x)=0$. Ist $ f$ zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer Umgebung von $ x$, durch die Hesse-Matrix bestimmt. Je nach Vorzeichen der Eigenwerte $ \lambda_i$ von $ \operatorname{H}
f(x)$ unterscheidet man zwischen Die Bezeichnungen sind durch die Form der Höhenlinien im bivariaten Fall motiviert, wie dies in der Abbildung illustriert ist.
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_elliptisch} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_hyperbolisch} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_parabolisch}
elliptischer Punkt hyperbolischer Punkt parabolischer Punkt
Bei Funktionen in zwei Veränderlichen kann der Typ anhand der Determinante der Hesse-Matrix klassifiziert werden. Ist $ \operatorname{det}(\operatorname{H}f) > 0$ ($ <0$), so handelt es sich um ein Extremum (einen Sattelpunkt). Für ein Minimum bzw. ein Maximum ist $ \operatorname{Spur}(\operatorname{H}f)>0$ bzw. $ <0$. Verschwindet die Determinante und ist die Hesse-Matrix nicht Null, so ist der Punkt parabolisch.

Beispiel:


[Verweise]

  automatisch erstellt am 22.  9. 2016