Mathematik-Online-Lexikon: Rechenregeln für Differentialoperatoren erster Ordnung

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	Rechenregeln für Differentialoperatoren erster Ordnung

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Übersicht

Für räumliche Vektorfelder $\vec{F}$ , $\vec{G}$ und räumliche Skalarfelder

gelten folgende Rechenregeln.

Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und Rotation gilt

$\operatorname{rot}(\operatorname{grad}U) = \vec{0}$
$\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F}) = 0$
$\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F}) = \operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec{F}) -\Delta \vec{F}$

wobei der Laplace-Operator einer vektorwertigen Funktion komponentenweise zu interpretieren ist, d.h.

$\displaystyle \Delta \vec{F} = \Delta F_x\vec{e}_x+ \Delta F_y\vec{e}_y + \Delta F_z\vec{e}_z \,.$

Bei der Differentiation von Produkten gilt

$\operatorname{grad}(UV)= U\operatorname{grad}V+V\operatorname{grad}U$
$\operatorname{div}(U\vec{F}) = U\operatorname{div}\vec{F} + \vec{F}\cdot\operatorname{grad}U$
$\operatorname{div}(\vec{F}\times \vec{G}) = \vec{G} \cdot \operatorname{rot}\vec{F} - \vec{F}\cdot\operatorname{rot}\vec{G}$
$\operatorname{rot}(U\vec{F}) = U\operatorname{rot}\vec{F} - \vec{F}\times\operatorname{grad}U$

Analoge Identitäten gelten auch für ebene Felder. Formal erhält man die entsprechenden Formeln, wenn man die dritte Komponente der Felder null setzt und nur von und abhängige Funktionen betrachtet.

siehe auch:

Stichwort: Differentialoperator

[Erläuterungen] [Beispiele]

automatisch erstellt am 30. 9. 2013