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Mathematik-Online-Lexikon:

Taylorentwicklung der Lösung einer Differentialgleichung


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Die Ableitungen der Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle y^\prime = f(x,y)
$

lassen sich sukzessive berechnen:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
y^{\prime\prime} &=&
f_y y^\prime + f_x...
...e)^2 + f_y y^{\prime\prime} + f_{xx}\\
&\ldots&\,.
\end{array}\end{displaymath}

Entsprechend erhält man für ein Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime_\nu = f_\nu(t,u),\quad \nu=1,\ldots,n\,,
$

mit

$\displaystyle f^{\nu,\mu,\ldots}(t,u) =
\left(\frac{\partial}{\partial u_\nu}\right)
\left(\frac{\partial}{\partial u_\mu}\right)
\cdots f(t,u)
$

die Ableitungen

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
u^{\prime\prime} &=&
\sum_\nu f^\nu(t,u...
...^\prime
u_\mu^\prime + f_{tt}(t,u) \\
&\ldots&\,.
\end{array}\end{displaymath}

Wertet man die Ableitungen an der Stelle $ t=t_0$ aus, so kann man für glattes $ f$ durch Taylor-Entwicklung aus dem Anfangswert $ u(t_0)$ Approximationen von $ u(t)$, $ t=t_0+\Delta t$, beliebiger Ordnung konstruieren.

Beispiele:


[Verweise]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013