Mathematik-Online-Lexikon: Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

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	Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

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Die Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime}(t) + p u^\prime(t) + q u(t) = 0$

mit $p,q\in\mathbb{R}$ hat je nach Typ der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

$\displaystyle \lambda^2+p\lambda+q$

folgende Form.

Zwei reelle Nullstellen $\lambda_1\ne\lambda_2$ :

$\displaystyle u(t)=a \exp(\lambda_1 t) + b \exp(\lambda_2 t)$
Doppelte Nullstelle $\lambda$ :

$\displaystyle u(t)=a\exp(\lambda t) + b t \exp(\lambda t)$
Zwei komplex konjugierte Nullstellen $-p/2\pm\varrho\mathrm{i}$ :

$\displaystyle u(t)=\exp\left(-\frac{p t}{2}\right)(a\cos(\varrho t)+b\sin(\varrho t))$

Die Konstanten können durch Anfangsbedingungen festgelegt werden.

Beispiele:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013