Mathematik-Online-Lexikon: Methode der unbestimmten Koeffizienten für lineare Differentialgleichugen erster Ordnung

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	Methode der unbestimmten Koeffizienten für lineare Differentialgleichugen erster Ordnung

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Für einen konstanten Koeffizienten kann die Differentialgleichung

$\displaystyle y^\prime = p y + q$

für bestimmte Funktionen

durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten gelöst werden oder eine partikuläre Lösung

ist unmittelbar ersichtlich. Einige gebräuchliche Fälle sind

$q(x) = \sum_{j=0}^n c_j x^j$ $\to$ $y_p = \sum_{j=0}^n d_j x^j$
$q(x) = c \exp(\lambda x),\,\lambda\ne p$ , $\to$ $\displaystyle y_p = \frac{c}{\lambda-p}\,\exp(\lambda x)$
$q(x) = c \exp(p x)\ \to$ $y_p = c x \exp(p x)$
$q(x) = a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x)$ $\to$ $y_p = c\cos(\omega x)+d\sin(\omega x)$

Die allgemeine Lösung ist dann

$\displaystyle y = y_p + c \exp(px)\,.$

Erläuterung:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013