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Mathematik-Online-Lexikon:

Fluss durch einen Zylindermantel

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Der Fluss eines Feldes

$\displaystyle \vec{F}(\varrho,\varphi,z) = F_\varrho \vec{e}_\varrho + F_\varphi \vec{e}_\varphi + F_z \vec{e}_z $

nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve $ \varrho=\varrho(\varphi)$ ist

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{z_{\min}}^{z_{\max}} F_\varrho \varrho- F_\varphi \partial_\varphi \varrho \,\,dz\,d\varphi \,. $

Der Fluss des Feldes durch eine Rotationsfläche, die durch Drehung der Kurve $ \varrho=\varrho(z)$ um die $ z$-Achse entsteht, ist

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{z_{\min}}^{z_{\max}} F_\varrho \varrho- F_z \varrho \partial_z \varrho \,\,dz\,d\varphi \,. $

Der Fluss durch den Mantel eines Kreiszylinders mit $ \varrho=a$ ist demnach

$\displaystyle a\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{z_{\min}}^{z_{\max}} F_\varrho\,dz\,d\varphi \,, $

d.h. nur die axialsymmetrische Komponente des Feldes liefert einen Beitrag. Insbesondere ist beim Kreiszylinder der Fluss für ein axialsymmetrisches Feld $ \vec{F}= f(\varrho) \vec{e}_\varrho$ gleich $ 2\pi a (z_{\max}-z_{\min}) f(a)$.

Erläuterung:

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  automatisch erstellt am 2. 10. 2013