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Mathematik-Online-Lexikon:

Periodische, quadratintegrierbare Funktionen

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Der Raum der $ 2\pi$-periodischen Funktionen $ f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit

$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi \vert f(x)\vert^2\,dx < \infty $

und der durch das Skalarprodukt

$\displaystyle \langle f,g \rangle_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\,dx $

induzierten Norm $ \Vert\cdot\Vert _{2\pi}$ wird mit $ L_{2\pi}^2$ bezeichnet.

Alternativ kann der Raum der $ 2\pi$-periodischen quadratintegrierbaren Funktionen auch als Abschluss der glatten Funktionen definiert werden, d.h. jede Funktion $ f\in L_{2\pi}^2$ lässt sich durch eine Folge unendlich oft differenzierbarer Funktionen $ f_n$ approximieren:

$\displaystyle \Vert f-f_n\Vert _{2\pi} \to 0,\quad n\to \infty \,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013