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Mathematik-Online-Lexikon:

Fourier-Projektion

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Die Fourier-Projektion einer quadratintegrierbaren Funktion $ f$,

$\displaystyle p_n f = \sum_{\vert k\vert\le n} c_k\,e_k,\quad c_k = \langle f,e... ...le_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)e^{-\mathrm{i}kt}\, dt\,, $

ist die beste Approximation zu $ f$ in der durch das Skalarprodukt $ \langle \cdot,\cdot \rangle_{2\pi}$ induzierten Norm $ \Vert\cdot\Vert _{2\pi}$, d.h.

$\displaystyle \Vert f-p_n f\Vert _{2\pi} =\min_{q_n=\sum\limits_{\vert k\vert\le n} d_k e_k} \Vert f-q_n\Vert _{2\pi}\,. $

Darüber hinaus gilt $ \Vert p_nf\Vert _{2\pi} \le \Vert f\Vert _{2\pi}$.

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013