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Mathematik-Online-Lexikon:

Parseval-Identitšt


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Die Norm einer $ 2\pi$-periodischen quadratintegrierbaren Funktion $ f$ lässt sich durch die Fourier-Koeffizienten

$\displaystyle c_k = \langle f,e_k \rangle_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi
f(t)e^{-\mathrm{i}kt}\,dt
$

ausdrücken:

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \vert f(t)\vert^2\,dt=
\sum_{k\in\mathbb{Z}} \vert c_k\vert^2
\,.
$

Entsprechend gilt für die Kosinus- und Sinus-Koeffizienten einer reellen Funktion f

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{a_0^2}{4} + \frac12
\sum_{k=1}^\infty \left(a_k^2 +b_k^2\right)
\,.
$

siehe auch:


[Erläuterungen] [Beispiele]

  automatisch erstellt am 17.  1. 2014