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Mathematik-Online-Lexikon:

Diskrete Fourier-Transformation

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Die Multiplikation eines $ n$-Vektors $ c$ mit der Fourier-Matrix $ W_n$ wird als diskrete Fourier-Transformation bezeichnet:

$\displaystyle f = W_nc \qquad\Leftrightarrow\qquad c = \frac{1}{n} W_n^\ast f \,. $

Definitionsgemäß ist also

$\displaystyle f_j = \sum_{k=0}^{n-1} c_k w_n^{jk},\quad j=0,\ldots,n-1 \qquad\L... ...ow\qquad c_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j w_n^{-kj},\quad k=0,\ldots,n-1 $

mit $ w_n = \exp(2\pi\mathrm{i}/n$), wobei die Vektoren $ c$ und $ f$ von 0 bis $ n-1$ indiziert werden.

Die diskrete Fourier-Transformation entspricht der Auswertung des trigonometrischen Polynoms

$\displaystyle p(x) = \sum_{k=0}^{n-1} c_k e^{\mathrm{i}kx} $

an den Punkten $ x_j = 2\pi j/n$:

$\displaystyle f_j = p(x_j),\quad j=0,\ldots,n-1 \,. $

Die inverse Transformation kann als Riemann-Summe für die Fourier-Koeffizienten interpretiert werden:

$\displaystyle \langle f,e_k \rangle_{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\... ...thrm{i}kx}\,dx \approx \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f(x_j) e^{-\mathrm{i}kx_j} $

mit $ x_j = 2\pi j/n$. Diese Approximation ist für glatte periodische Funktionen und $ n\gg \vert k\vert$ sehr genau.

Beispiel:

[Erläuterungen] [Verweise]
  automatisch erstellt am 8. 11. 2013