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Mathematik-Online-Lexikon:

Quadratintegrierbare Funktionen

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Für ein Gebiet $ D\subset\mathbb{R}^n$ bezeichnet $ L^2(D)$ den Raum der Funktionen $ f:\ D\to\mathbb{C}$ mit

$\displaystyle \int\limits_D \vert f(x)\vert^2\,dx < \infty $

und der durch das Skalarprodukt

$\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int\limits_D f(x)\overline{g(x)}\,dx $

induzierten Norm $ \Vert\cdot\Vert _2$.

Alternativ kann $ L^2(D)$ auch als Abschluß der glatten Funktionen definiert werden, d. h. jede quadratintegrierbare Funktion läßt sich durch eine Folge unendlich oft differenzierbarer Funktionen $ f_n$ approximieren:

$\displaystyle \Vert f-f_n\Vert \to 0,\quad n\to \infty \,. $

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013