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Mathematik-Online-Lexikon:

Multivariate Fourier-Transformation

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Die Fourier-Transformierte $ \hat{f}={\cal F}f$ einer absolut integrierbaren Funktion $ f$ ist durch

$\displaystyle \hat{f}(y) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-\mathrm{i}y^{\operatorname t}x}\,dx,\quad y\in\mathbb{R}^n \,, $

definiert mit der inversen Transformation

$\displaystyle f(x) = (2\pi)^{-n} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(y)e^{\mathrm{i}y^{\operatorname t}x}\,dy,\quad x\in\mathbb{R}^n \,. $

Die Fourier-Transformation ist bis auf einen Normierungsfaktor eine Isometrie auf $ L^2(\mathbb{R}^n)$:

$\displaystyle (2\pi)^{n/2} \Vert f\Vert = \Vert\hat{f}\Vert \,. $

Dabei wird für nicht absolut integrierbare Funktionen die Fourier-Transformation und ihre Inverse als Grenzwert der Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger erklärt.

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013