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Mathematik-Online-Lexikon:

Entwicklung der Lösung eines Sturm-Liouville-Problems nach Eigenfunktionen

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Sind $ \psi_k$ die durch

$\displaystyle L\psi_k=\lambda_k\varrho\psi_k,\ \langle\psi_k,\psi_k\rangle_\varrho= \int_a^b\vert\psi_k\vert^2\varrho $

definierten normierten Eigenfunktionen eines regulären selbstadjungierten Randwertproblems mit $ \varrho(x)>0$, so besitzt jede Funktion mit $ \langle f,f\rangle_\varrho\,<\infty$ die Entwicklung

$\displaystyle f=\sum_{k=1}^\infty \langle f,\psi_k\rangle_\varrho\psi_k\ . $

Insbesondere lässt sich eine Lösung des Randwertproblems $ Lu=f$ in der Form

$\displaystyle u=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\lambda_k}\langle f/\varrho,\psi_k\rangle_\varrho\psi_k $

darstellen.

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013