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Mathematik-Online-Lexikon:

Formelsammlung: Differentialrechnung einer Veränderlichen


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Linearität $ (r\, f(x) + s\, g(x) )^\prime = r\,f^\prime(x) + s \,g^\prime(x)$
   
Produktregel $ (fg)^\prime = f^\prime \,g + f\, g^\prime$
   
Quotientenregel $ \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)^\prime = \frac{f^\prime\, g - f \, g^\prime}{g^2}$
   
Kettenregel $ (f\circ g)^\prime(x) = f^\prime(g(x))\, g^\prime(x)$
   
Umkehrfunktion $ (f^{-1})^\prime(y) = \dfrac{1}{f^\prime(x)}\,, \quad y = f(x) $
   
Logarithmische

Ableitung

$ f^\prime(x) = f(x) \, (\ln f(x))^\prime\,,\quad f(x)>0$
   
Leibniz-Regel $ (fg)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} {n\choose k} f^{(n-k)} \, g^{(k)} $

\begin{tabular}{p{4.5cm}cc\vert cc}
Wichtige Ableitungen &
% hline
$f(x)$\ ...
...rtanh}\, x \; (\vert x\vert<1)$\ & $1/(1-x^2)$\ & & \\
% hline
\end{tabular}

Mittelwertsatz $ \exists c \in (a,b)\,:\; f(b)-f(a) = f^\prime(c)\,(b-a)$
   
Verallgemeinerter

Mittelwertsatz

$ \displaystyle\exists c \in (a,b) \,:\; \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
= \frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}$
   
Regel von l'Hospital $ \displaystyle
\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}
= \lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$      $ \left( \mbox{bei } \frac{0}{0} \mbox{ und } \frac{\infty}{\infty} \right)$
   
Satz von Taylor $ \displaystyle
f(x) = f(a) + f^\prime(a)\,(x-a) + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n + R_n$

$ \displaystyle R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\, (x-a)^{n+1}$

   
Newton-Verfahren $ \displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$
   
Leibniz-Regel $ \frac{d}{dt}\int\limits_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\, dx
= \int\limits_{a(t)}^{b(t)} f_t(x,t)\, dx
+ b^\prime(t)\, f(b(t),t) - a^\prime(t)\, f(a(t),t)$
Extremum notwendig: $ f'(x)=0$
  hinreichend für Minimum (Maximum): zusätzlich $ f''(x) >0 \ (<0)$
   
Wendepunkt notwendig: $ f''(x)=0$; hinreichend: zusätzlich $ f'''(x) \neq 0$

(Autor: M. Reble)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006