Mathematik-Online-Lexikon: Formelsammlung: Vektorräume

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	Formelsammlung: Vektorräume

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Übersicht

Gruppe	Assoziativgesetz: $a \diamond (b\diamond c) = (a\diamond b) \diamond c$
	Neutrales Element: $a\diamond e = e \diamond a = a$
	Inverses Element: $a \diamond a^{-1} = a^{-1} \diamond a = e$

abelsche Gruppe	kommutativ: $a\diamond b = b \diamond a$

Körper	ist abelsche Gruppe $(K \backslash \{0\}, \cdot)$ ist abelsche Gruppe Distributivgesetz: $a\cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c$

Vektorraum	abelsche Gruppe über Skalarkörper
	$(\lambda_1 + \lambda_2)\cdot v = \lambda_1\cdot v + \lambda_2\cdot v$
	$\lambda\cdot(v_1+v_2) = \lambda\cdot v_1 + \lambda\cdot v_2$
	$(\lambda_1\,\lambda_2)\cdot v = \lambda_1\cdot(\lambda_2\cdot v)$
	$1 \cdot v = v$

Skalarprodukt	$\langle v,v \rangle > 0$ für $v\ne 0$
	$\langle u,v \rangle = \overline{\langle v,u\rangle}$
	$\langle \lambda u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle$
	$\langle u+v, w \rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle$

orthogonale Basis	$x=\sum\limits_{k=1}^n c_ku_k\,,\,c_k=\frac{\langle x,u_k\rangle}{\langle u_k,u_k\rangle}$
	$\vert x\vert^2=\sum\limits_{k=1}^n \vert c_k\vert^2\vert u_k\vert^2$

Cauchy-Schwarz	$\vert\langle u,v\rangle \vert \leq \vert u\vert\vert v\vert\,,\vert u\vert=\sqrt{\langle u,u\rangle}$

Norm	$\left\Vert v\right\Vert > 0\,,\,v\neq 0$
	$\left\Vert\lambda\, v\right\Vert = \vert\lambda\vert\,\left\Vert v\right\Vert$
	$\left\Vert u+v\right\Vert \leq \left\Vert u\right\Vert + \left\Vert v\right\Vert$

Lineare Abbildung	Additivität:
	Homogenität: $L(\lambda v) = \lambda \, L(v)$

Bild und Kern	Bild $(L) = \{w\in W \,:\; \exists v \in V$ mit $L(v) = w\}$
	ker $(L) = \{v \in V \,:\; L(v) = 0 \}$
	dim = dim ker() + dim Bild()

(Autor: M. Reble)

siehe auch:

Stichwort: Formelsammlung: Lineare Algebra

automatisch erstellt am 25. 1. 2006