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Mathematik-Online-Lexikon:

Koordinatenfreie Definition des Gradienten

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Der Gradient eines stetig differenzierbaren Skalarfeldes $ U$ lässt sich als Grenzwert von Integralen über die Oberfläche $ {S}$ eines den Punkt $ x$ enthaltenden räumlichen Bereichs $ {V}$ definieren:

$\displaystyle \lim_{\operatorname{diam}{V}\to0} \frac{1}{\operatorname{vol}{V}}\, \iint\limits_{S} U d\vec{S} \,, $

wobei $ d\vec{S}$ nach außen orientiert ist. Dies folgt unmittelbar aus der ersten Variante des Integralsatzes von Gauß und dem Mittelwertsatz und zeigt insbesondere die Invarianz des Gradienten unter orthogonalen Koordinatentransformationen.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013