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Mathematik-Online-Lexikon:

Existenz eines Vektorpotentials

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Auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $ D$ besitzt ein stetig differenzierbares Vektorfeld $ \vec{F}$ genau dann ein Vektorpotential $ \vec{A}$, wenn $ \vec{F}$ auf $ D$ quellenfrei ist:

$\displaystyle \exists \vec{A}:\ \vec{F}=\operatorname{rot}\vec{A} \qquad \Leftrightarrow \qquad \operatorname{div} \vec{F} =0\,. $

Das Vektorpotential ist bis auf ein Gradientenfeld eines beliebigen Skalarfeldes $ U$ eindeutig bestimmt:

$\displaystyle \vec{B} = \vec{A} + \operatorname{grad} U \Rightarrow \operatorname{rot}\vec{B} = \operatorname{rot}\vec{A}\,. $

Wählt man $ U$ als Lösung der Poisson-Gleichung

$\displaystyle -\Delta U= \operatorname{div}\vec{A}\,, $

so ist $ \operatorname{div}\vec{B} =0$, d.h. man erhält ein quellenfreies Vektorpotential. Eine solche spezielle Wahl wird als Eichung des Vektorpotentials bezeichnet.

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013