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Mathematik-Online-Lexikon:

Integraldarstellung einer Lösung der Poisson-Gleichung im Raum


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Eine quadratisch integrierbare Lösung der Poisson-Gleichung

$\displaystyle - \Delta U = q
$

besitzt die Integraldarstellung

$\displaystyle U(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi}
\underset{\mathbb{R}^3}{\iiint}
\frac{q(\vec{s})}{\vert\vec{s}-\vec{r}\vert}\,
ds_1ds_2ds_3
\,.
$

Dabei muss vorausgesetzt werden, dass $ \vert q(\vec{r})\vert$ für $ r\to\infty$ genügend schnell abfällt, um die Konvergenz des Integrals zu gewährleisten. Hinreichend ist beispielsweise, dass

$\displaystyle \vert q(\vec{r})\vert \leq \frac{c}{1+\vert\vec{r}\vert^2}\,.
$

siehe auch:


  automatisch erstellt am 19.  8. 2013