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Mathematik-Online-Lexikon:

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

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Eine komplexe Funktion

$\displaystyle f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)\,,\quad z=x+\mathrm{i}y$

ist genau dann komplex differenzierbar, wenn die bivariate reelle Funktion $ f(x,y)=(u,v)^t$ total differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügen:

$\displaystyle u_x=v_y\, , \quad u_y=-v_x \,. $

In diesem Fall ist

$\displaystyle f^{\prime}=u_x+\mathrm{i}v_x=v_y-\mathrm{i}u_y\,.$

Es sind dann sowohl $ u$ als auch $ v$ harmonisch, d.h.

$\displaystyle \Delta u = u_{xx}+u_{yy} = 0 = \Delta v \,. $

Erläuterung:

[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 15. 11. 2013