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Mathematik-Online-Lexikon:

Körperaxiome gelten für die komplexen Zahlen

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In der Menge der komplexen Zahlen $ {\mathbb{C}}$ gelten folgende Aussagen:

(i)
Es gilt $ (a+b)+c = a+(b+c)$.
(ii)
Es gibt ein $ e \in {\mathbb{C}}$, so daß für alle $ a \in {\mathbb{C}}$ $ a+e=e+a=a$ gilt. Dieses neutrale Element bezüglich der Addition ist $ e = 0$.
(iii)
Es gilt das Kommutativgesetz $ a+b=b+a$.
(iv)
Für jedes $ a=x+iy$ gibt es ein $ b=-x-iy$, so daß $ a+b=b+a=0$ gilt. Statt $ b$ schreibt man dann auch $ -a$.
(v)
Es gilt das Assoziativgesetz $ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
(vi)
Es gilt das Kommutativgesetz bezüglich der Multiplikation $ a \cdot b = b \cdot a$.
(vii)
Es gibt ein $ f \in {\mathbb{C}}$, so daß für alle $ a \in {\mathbb{C}}$ $ fa=af=a$ gilt. Dieses neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist $ f = 1$.
(viii)
Zu jedem $ a = x+iy \in {\mathbb{C}} \setminus \{0\}$ gibt es ein $ b \in {\mathbb{C}}$ mit $ a \cdot b=b \cdot a = 1$.

Beweis:
$ (x+iy) \cdot (x-iy) = x^2+y^2 \neq 0$, wenn $ x+iy \neq 0$. Man kann also durch $ x^2+y^2$ dividieren und erhält $ \displaystyle b = \frac{x-iy}{x^2+y^2}$.

(ix)
Es gilt das Distributivgesetz $ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006