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Mathematik-Online-Lexikon:

Komplexes Taylor-Polynom

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Eine in einem Gebiet $ D$ analytische Funktion $ f$ wird durch das Taylor-Polynom

$\displaystyle p_n(z) = \sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!} (z-a)^j $

in jedem Punkt $ a\in D$ mit der Ordnung $ n+1$ approximiert:

$\displaystyle \vert f(z)-p_n(z)\vert = O\left(\vert z-a\vert^{n+1}\right),\quad z\to a \,. \, $

Das Restglied besitzt die Integraldarstellung

$\displaystyle f(z) - p_n(z) = \left( \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}(w-z)}\,dw \right) \,(z-a)^{n+1} \,, $

wobei $ C\subset D$ ein geschlossener Weg mit $ n(C,a)=n(C,z)=1$ (z. B. ein entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis um $ a$, der $ z$ enthält) ist.

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013