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Mathematik-Online-Lexikon:

Komplexe Taylor-Reihe

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Eine in einem Gebiet $ D$ analytische Funktion $ f$ lässt sich in jedem Punkt $ a\in D$ in eine Taylor-Reihe entwickeln:

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \,(z-a)^n \,. $

Die Reihe konvergiert absolut für

$\displaystyle \vert z-a\vert < r = \left( \operatorname*{\overline{lim}}_{n\rightarrow\infty} \left\vert f^{(n)}(a) / n! \right\vert^{1/n} \right)^{-1} \,. $

Dieser Konvergenzradius $ r$ ist gleich dem Abstand des Entwicklungspunktes $ a$ zur nächsten Singularität von $ f$, d.h. zum Rand des Analytizitätsgebietes.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013