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Mathematik-Online-Lexikon:

Komplexe Taylor-Reihe


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Eine in einem Gebiet $ D$ analytische Funktion $ f$ lässt sich in jedem Punkt $ a\in D$ in eine Taylor-Reihe entwickeln:

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}
\,(z-a)^n
\,.
$

Die Reihe konvergiert absolut für

$\displaystyle \vert z-a\vert < r =
\left( \operatorname*{\overline{lim}}_{n\rightarrow\infty}
\left\vert f^{(n)}(a) / n!
\right\vert^{1/n} \right)^{-1}
\,.
$

Dieser Konvergenzradius $ r$ ist gleich dem Abstand des Entwicklungspunktes $ a$ zur nächsten Singularität von $ f$, d.h. zum Rand des Analytizitätsgebietes.

Beispiel:


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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013