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Mathematik-Online-Lexikon:

Variablentransformation

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Im folgenden sei $ n = 2 $ und es werde für $ f = f(x,y) $ die lineare PDG

$\displaystyle (*) \hspace{4cm} \ \ a f_x + b f_y + c f + d = 0 $

betrachtet. Transformiert man die Variablen durch

$\displaystyle f(x,y) = g(v,w), \ v = v(x,y), \ w = w(x,y) $

dann folgt mit der Kettenregel, daß

$\displaystyle f_x = \operatorname{grad} g \cdot(v_x,w_x) = g_v v_x + g_w w_x $

und

$\displaystyle f_y = \operatorname{grad} g \cdot(v_y,w_y) = g_v v_y + g_w w_y $

ist. Setzt man dies in die PDG für $ u$ ein, so ergibt sich für $ g$ die lineare PDG

$\displaystyle (av_x + bv_y)g_v + (aw_x + bw_y)g_w + cg + d = 0 .$

Unter der Annahme, daß $ v$ eine Lösung der Gleichung

$\displaystyle (**) \hspace{4cm} \ \ af_x + bf_y = 0 $

ist, vereinfacht sich die PDG für $ g$ zu

$\displaystyle (aw_x + bw_y) g_w + cg + d = 0 .$

Wählt man nun $ w$ möglichst einfach, aber immer noch so, daß die Variablentransformation umkehrbar ist, so ergibt sich z.B. für $ w = y$ wegen $ w_x = 0$ und $ w_y = 1$ für $ g$ eine Gleichung der Form

$\displaystyle b g_w + cg + d = 0 ,$

die im Prinzip nur noch eine Variable involviert und mit der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen zu behandeln ist. Um dies zu erreichen, war es notwendig, eine Lösung $ v$ der Gleichung (**) zu kennen.

(Aus: Vorlesungsskript HM3)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006