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Mathematik-Online-Lexikon:

Entwicklung einer Differentialgleichung im singulären Punkt

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Die Differentialgleichung

$\displaystyle r(z) u''(z) + q(z) u'(z) + p(z) u(z) = 0 $

hat bei $ z=a$ einen regulären singulären Punkt, wenn $ q/r$ einen Pol höchstens erster und $ p/r$ einen Pol höchstens zweiter Ordnung bei $ z=a$ haben.

In einem regulären singulären Punkt $ a$ wird das Verhalten der Lösungen $ u$ durch die charakteristische Gleichung

$\displaystyle \varphi(\lambda) = \lambda(\lambda-1) + q_0 \lambda + p_0 = 0 $

bestimmt, wobei $ q_0$ und $ p_0$ die führenden Koeffizienten von $ q/r$ bzw. $ p/r$ sind, d.h,

$\displaystyle \frac{q(z)}{r(z)} = \frac{q_0 + q_1 (z-a) + \cdots}{z-a},\quad \frac{p(z)}{r(z)} = \frac{p_0 + p_1 (z-a) + \cdots}{(z-a)^2}\,. $

Ist die Differenz der Nullstellen $ \alpha$, $ \beta$ von $ \varphi$ nicht ganzzahlig, so existieren zwei linear unabhängige Lösungen

$\displaystyle (z-a)^\alpha v(z),\quad (z-a)^\beta w(z) \,, $

wobei $ v$ und $ w$ in einer Umgebung von $ a$ analytische Funktionen mit $ v(a),w(a)\ne 0$ sind.

Sonst existiert im Allgemeinen nur eine Lösung dieses Typs zu dem Exponenten $ \alpha$ mit dem größten Realteil. Eine zweite Lösung kann dann durch Variation der Konstanten, d.h. mit dem Ansatz

$\displaystyle u(z) = c(z) (z-a)^\alpha v(z) $

bestimmt werden.

Beispiele:

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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013