Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Cauchy-Kriterium


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Bei rekursiv definierten Folgen $ (a_n)$ läßt sich das Cauchy-Kriterium oft durch Nachweis der Abschätzung

$\displaystyle \vert a_{n+1} - a_{n}\vert \leq cq^n$

mit $ q \in [0, 1)$ verifizieren. Diese sogenannte geometrische Konvergenz impliziert für $ j < k$

$\displaystyle \vert a_j - a_k\vert \leq \vert a_j - a_{j+1}\vert + \vert a_{j+1...
...uad + \vert a_{k-1} - a_k\vert \leq cq^j\,(1+q+q^2+...) \leq \frac{cq^j}{1-q}.
$

Die rechte Seite ist für $ < \varepsilon$ für $ j, k > n_{\varepsilon} = \ln\frac{\varepsilon(1-q)}{c}/\ln q$, das Cauchy-Kriterium also erfüllt.

Für die konkrete, durch

$\displaystyle a_n = \sqrt{2 + a_{n-1}},\quad a_0 = 1,
$

rekursiv definierte Folge $ a_n$ verwendet man zum Nachweis der geometrischen Konvergenz Induktion.

Induktionsanfang $ (n=1):$ Die Ungleichung

$\displaystyle \vert a_1 - a_0\vert \leq cq
$

gilt, wenn $ c = \vert a_1 - a_0\vert/q$ gesetzt wird.

Induktionsschluss $ (n \rightarrow n+1)$: Man schreibt die abzuschätzende Differenz in der Form

$\displaystyle \vert a_{n+1} - a_n\vert = \vert\sqrt{2 + a_{n}} - \sqrt{2 + a_{n...
...\vert \frac{a_n - a_{n-1}}{\sqrt{2 + a_{n}} + \sqrt{2 + a_{n-1}}} \right\vert.
$

Nach Induktions-Voraussetzung ist die rechte Seite $ \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}cq^n$ und mit der Wahl $ q = 1/2\sqrt{2}$ $ \leq$ $ cq^{n+1}$ wie gewünscht.
(Autoren: Höllig/Kreitz )

[Verweise]

  automatisch erstellt am 8.  4. 2008