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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Grenzwert einer Reihe

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Nur in wenigen Fällen ist die explizite Berechnung einer Reihe möglich. Ein Beispiel sind bestimmte Reihen mit rationalen Summanden wie

$\displaystyle \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^2-1} = \frac{3}{2}. $

Nach der Partialbruchzerlegung

$\displaystyle \frac{2}{n^2-1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\,, $

lässt sich diese Reihe in der Form

$\displaystyle \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4... ...eft(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+\hdots $

schreiben. Bis auf $ \frac{1}{1}$ und $ \frac{1}{2}$ heben sich alle Summanden auf, so dass der Grenzwert $ \frac{3}{2}$ unmittelbar abgelesen werden kann.

Für die Differenz der Partialsummen gilt für $ n < m$

$\displaystyle \vert s_n - s_m\vert = \left\vert \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{... ...) + \left(\frac{1}{m-2} - \frac{1}{m}\right)\right\vert \leq \frac{4}{n-1}\,, $

da sich die mittleren Terme aufheben. Die Partialsummen bilden also eine Cauchy-Folge:

$\displaystyle \vert s_n - s_m\vert < \varepsilon \;$   für$\displaystyle \; n > 1 + \frac{4}{\varepsilon}\,. $

Die Differenz zum Grenzwert ist

$\displaystyle \left\vert \frac{3}{2} - s_n \right\vert = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} < \frac{2}{n}\,. $

Das Beispiel zeigt auch, dass die Reihenfolge der Summanden im allgemeinen wesentlich ist. Wählt man die Reihenfolge

$\displaystyle \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} + ... ...+ \left(\frac{1}{9} + \hdots + \frac{1}{16} - \frac{1}{6}\right) + \hdots\,, $

so ist jeder Ausdruck in Klammern $ \geq \frac{1}{4}$, die Reihe also divergent.
(Autoren: Höllig/Kreitz )
[Verweise]
  automatisch erstellt am 17.  8. 2012