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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Laurent-Entwicklung vom Arcustangens

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Die Laurent-Entwicklung der Arcustangens-Funktion kann man durch gliedweise Integration der Reihendarstellung für die Ableitung

$\displaystyle \frac{d}{dz} \arctan z = \frac{1}{1+z^2} $

erhalten.

Für $ \left\vert z \right\vert<1$ ergibt sich aus

$\displaystyle \frac{1}{1+z^2} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( -z^2 \right)^n $

die Taylor-Entwicklung

$\displaystyle \arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} \,. $

Für $ \left\vert z \right\vert>1$ verwendet man

$\displaystyle \frac{1}{1+z^2} = \frac{1}{z^2} \frac{1}{1+1/z^2} = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^\infty \left( -z^2 \right)^{-n} $

und erhält die Laurent-Entwicklung

$\displaystyle \arctan z = \frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}z^{-2n-1} \,. $

Die Integrationskonstante $ \pi/2$ ergibt sich dabei durch Vergleich der Werte bei $ z = \infty$.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013