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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Fourier- versus Laurent-Reihe

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Ist die Laurent-Reihe

$\displaystyle f(z) = \sum\limits_{n = -\infty}^\infty c_n z^n $

für $ \left\vert z \right\vert =1$ konvergent, so erhält man mit $ z=e^{\mathrm{i}t}$ die Fourier-Reihe

$\displaystyle g(t) = f \left( e^{\mathrm{i}t} \right) = \sum\limits_{n = -\infty}^\infty c_n e^{\mathrm{i} n t} \,. $

Die Berechnung der Koeffizienten kann entweder über das Kurvenintegral

$\displaystyle c_n = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int\limits_C \frac{f(z)}{z^{n+1}} \, dz \,, $

wobei $ C$ der positiv orientierte Einheitskreis ist, oder als trigonometrisches Integral

$\displaystyle c_n = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_0^{2 \pi} g(t) e^{- \mathrm{i} n t} \, dt $

erfolgen $ \left( dz = \mathrm{i} z\, dt\right)$.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013