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  \begin{frame}[shrink]
    \frametitle{Konvergenzordnung}
    \begin{Satz}[Quadratische Konvergenz]
      Für eine einfache Nullstelle $x_\star$ konvergiert die
      Newton-Iteration lokal quadratisch, d.h. 
      \[
        |x_{n+1}-x_\star| \leq c |x_{n}-x_\star|^2 
      \]
      für Startpunkte $x_0$ in einer hinreichend kleinen Umgebung 
      von $x_\star$. 
    \end{Satz}
    \pause
    \begin{Beweis}
      \begin{itemize}[<+->]
        \item Lineare Taylor-Approximation: $0=f(x_\star)=f(x_n)+
          f'(x_n)(x_\star-x_n)+r$ mit Restglied 
          $r=\frac{1}{2}\,f''(\xi_n)(x_\star-x_n)^2$, $\xi_n$
          zwischen $x_\star$ und $x_n$ 
        \item Einsetzen von $f(x_n)=f'(x_n)(x_n-x_\star)-r$ in
          Iterationsvorschrift ergibt
          $x_{n+1} = x_\star - r/f'(x_n)$.
        \item $|1/f'(x_n)|$ und $|f''(\xi_n)|$ sind für $x_n
          \approx x_\star$ aus Stetigkeitsgründen gleichmäßig
          beschränkt. Dies impliziert $|x_{n+1}-x_\star| \leq 
          c|x_n-x_\star|^2$ mit $c \approx -\frac{1}{2}\;
          \frac{f''(x_\star)}{f'(x_\star)}$.
       \end{itemize}
    \end{Beweis}
  \end{frame}

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