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Mathematik-Online-Lexikon:

Eigenschaften des Kreuzproduktes

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Seien $ x,y,z\in\mathbb{R}^3$ . Bestätige die folgenden Regeln.

1.
$ x^\mathrm{t} (x\times y) =0$ .
2.
$ (x\times y)\times z= (x^\mathrm{t} z)y-(y^\mathrm{t} z)x$ .
3.
$ (x\times y)\times z \;+\; (y\times z)\times x \;+\; (z\times x)\times y =0$ .

Lösung.

Seien $ x=\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\end{pmatrix}$ , $ y=\begin{pmatrix}\eta_1\\ \eta_2\\ \eta_3\end{pmatrix}$ und $ z=\begin{pmatrix}\zeta_1\\ \zeta_2\\ \zeta_3\end{pmatrix}$ .

1.

Es wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x^\mathrm{t} (x\times y) &=& \begin{pmatr... ...3(\xi_1\eta_2-\xi_2\eta_1)\vspace*{3mm}\\ &=& 0\;. \end{array}\end{displaymath}

2.

Es wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} (x\times y)\times z &=& \begin{pmatrix}\... ..._3\eta_1\zeta_1+\xi_1\eta_3\zeta_1 \end{pmatrix};. \end{array}\end{displaymath}

Auf der anderen Seite wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} (x^\mathrm{t} z)y -(y^\mathrm{t} z)x &=& ... ...ta_1\zeta_1\xi_3+\eta_2\zeta_2\xi_3\end{pmatrix}\;. \end{array}\end{displaymath}

3.

Mit 2. wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} (x\times y)\times z \;+\; (y\times z)\tim... ...thrm{t} x-x^\mathrm{t} y)z\vspace*{1mm}\\ &=& 0\;. \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006