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Mathematik-Online-Lexikon:

Darstellungsmatrix, Kern und Bild

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Sei

$\displaystyle f:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3,\; \begin{pmatrix}\xi_1... ...\begin{pmatrix}2\xi_1+3\xi_2+\xi_3\\ \xi_1+\xi_2\\ \xi_2+\xi_3\end{pmatrix}\;. $

  1. Zeige, daß $ f$ eine lineare Abbildung ist.
  2. Zeige, daß

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \underline{x} &:=& (\begin{pmatrix}1\\ 0\... ...end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}) \end{array}\end{displaymath}

    Basen des $ \mathbb{R}^3$ sind.
  3. Bestimme $ \mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$ und $ \mathrm{M}(f)_{\underline{x},\underline{y}}$ .
  4. Bestimme eine Basis von $ \operatorname{Kern}\mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$ und damit eine Basis von $ \operatorname{Kern }f$ .
  5. Bestimme eine Basis von $ \operatorname{Bild}\mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$ und damit eine Basis von $ \operatorname{Bild} f$ .
  6. Überprüfe den Dimensionssatz für $ f$ .

Lösung.

  1. Es ist

    $\displaystyle f(\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}) \;=\; \begin{pmatr... ...3&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}\;. $

    Eine Abbildung dieser Form ist stets linear.

  2. Die Zeilenstufenform der aus $ \underline{x}$ bzw. $ \underline{y}$ gebildeten Matrix ist jeweils die Einheitsmatrix. Daher sind $ \underline{x}$ und $ \underline{y}$ Basen des $ \mathbb{R}^3$ .

  3. Es wird

    \begin{displaymath} \begin{array}{rclcl} f(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}... ...+ (-2)\cdot\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\;. \end{array}\end{displaymath}

    Also ist

    $\displaystyle \mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}} \;=\; \left(\begin{array}{rrr}1&\;1&0\\ 0&0&4\\ 0&0&-2\end{array}\right)\;. $

    Ferner wird

    \begin{displaymath} \begin{array}{rclcl} f(\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 1\end{pmatrix}... ...eft(\begin{array}{r}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)\;. \end{array}\end{displaymath}

    Also ist

    $\displaystyle \mathrm{M}(f)_{\underline{x},\underline{y}} \;=\; \begin{pmatrix}6&3&2\\ 0&0&0\\ 4&2&1\end{pmatrix}\;. $

    Alternativ. Es wird

    \begin{displaymath} \begin{array}{rclclcl} \mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underli... ...pmatrix}6&3&2\\ 0&0&0\\ 4&2&1\end{pmatrix} \; . \\ \end{array}\end{displaymath}

  4. Die Zeilenstufenform von $ \mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$ berechnet sich zu

    $\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}1&\;1&0\\ 0&0&4\\ 0&0&-2\end{array}\right)\;\leadsto\;\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\;. $

    Also ist $ (\left(\begin{array}{r}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right))$ eine Basis von $ \operatorname{Kern}\mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$ . Es ist

    $\displaystyle (-1)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + 1\cdot\begin{pm... ...end{array}\right) \;=\; \left(\begin{array}{r}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)\;, $

    und somit ist $ (\left(\begin{array}{r}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right))$ eine Basis von $ \operatorname{Kern }f$ .
  5. Die in 4. berechnete Zeilenstufenform von $ \mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$ hat ausgewählte Spalten in Position $ 1$ und $ 3$ . Also ist $ (\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\left(\begin{array}{r}0\\ 4\\ -2\end{array}\right))$ eine Basis von $ \operatorname{Bild}\mathrm{M}(f)_{\underline{y},\underline{x}}$ .

    Es ist

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 1\cdot \begin{pmatrix}3\\ 1\\ 1\end{pmatr... ...left(\begin{array}{r}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)\;, \end{array}\end{displaymath}

    und somit ist $ (\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\ 2\\ 0\end{pmatrix})$ eine Basis von $ \operatorname{Bild} f$ .

  6. Es gilt $ \dim\operatorname{Kern }f=1$ , $ \dim\operatorname{Bild} f=2$ und in der Tat

    $\displaystyle \dim\mathbb{R}^3 \;=\; 3 \;=\; 1+2 \;=\; \dim\operatorname{Kern }f + \dim\operatorname{Bild} f\;. $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 22.  8. 2006