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Mathematik-Online-Lexikon: | |
Rang von Matrixpotenzen |
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Sei
Lösung.
und somit ist
Die Matrix
ist (bis auf Weglassen von Nullzeilen) durch Multiplikation von A mit einer invertierbaren Matrix von links hervorgegangen. Somit
haben
und
dieselbe Zeilenstufenform, nämlich, unter Vernachlässigung von Nullzeilen,
und somit ist
Es haben
und
dieselbe Zeilenstufenform, nämlich, unter Vernachlässigung von Nullzeilen,
und somit ist
Es haben
und
dieselbe Zeilenstufenform, nämlich, unter Vernachlässigung von Nullzeilen,
und somit ist
Sei
,
. Sei
für
. Insbesondere ist
.
Aus
folgt
Sei
.
Sei
die Spaltenstufenform von
nach Streichung aller Nullspalten.
Sei
die Spaltenstufenform von
nach Streichung aller Nullspalten.
Sowohl die Spalten von
als auch die Spalten von
bilden eine Basis von
(vgl. Beweis zu 3.).
Also gibt es eine invertierbare Matrix
so, daß
. Da
und
sich in
Spaltenstufenform befinden und keine Nullspalten enthalten, folgt
und
.
automatisch erstellt am 22. 8. 2006 |