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Mathematik-Online-Lexikon:

Orthogonale Projektion

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Sei $ U := \langle\left(\begin{array}{r}1\\ 1\\ -\mathrm{i}\\ 1\end{array}\right),\l... ...}0\\ \mathrm{i}\\ \mathrm{i}\\ 0\end{array}\right)\rangle \subseteq\mathbb{C}^4$ .

1.
Bestimme eine Orthonormalbasis von $ U$ .
2.
Bestimme eine Darstellungsmatrix der orthogonalen Projektion $ \pi_U$ bezüglich der Standardbasis von $ \mathbb{C}^4$ und der in 1. gefundenen Orthonormalbasis.
3.
Bestimme eine Darstellungsmatrix der Inklusion $ \iota_U:U\longrightarrow\mathbb{C}^4$ , $ u\mapsto u$ , bezüglich dieser Basen. Bestimme eine Darstellungsmatrix von $ \iota_U\circ\pi_U:\mathbb{C}^4\longrightarrow\mathbb{C}^4$ bezüglich der Standardbasis. Verifiziere unter Zuhilfenahme dieser Matrix, daß $ (\iota_U\circ\pi_U)^2 = \iota_U\circ\pi_U$ .

Lösung.

1.
Mit Gram-Schmidt erhalten wir, unter Beachtung dessen, daß bei Entstehen eines Nullvektors direkt zum nächsten Schritt überzugehen ist,

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x'_1 & = & \frac{1}{2}\left(\begin{array}... ...\mathrm{i}\\ 1-\mathrm{i}\end{array}\right)\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Es ist $ (x'_1,x'_2,x'_3)$ eine Orthonormalbasis von $ U$ .
2.
Es wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rclcrcrcr} \pi_U(e_1) & = & \displaystyle \sum... ... \frac{1+\mathrm{i}}{4} \,x'_3\; ,\hspace*{-2mm}\\ \end{array}\end{displaymath}

und somit

$\displaystyle \mathrm{M}(\pi_U)_{\underline{x}',\underline{e}^{(n)}} \;=\; \lef... ...athrm{i})/4 & (-1-3\mathrm{i})/4 & (1+\mathrm{i})/4 \\ \end{array}\right)\; . $

3.
Es ist

$\displaystyle \mathrm{M}(\iota_U)_{\underline{e}^{(n)},\underline{x}'} \;=\; \l... ...& (-1+3\mathrm{i})/4 \\ 1/2 & 0 & (1-\mathrm{i})/4 \\ \end{array}\right)\; . $

Damit wird

$\displaystyle \mathrm{M}(\iota_U\circ\pi_U)_{\underline{e}^{(n)},\underline{e}^... ...\\ 2-\mathrm{i} & 2-\mathrm{i} & -2+\mathrm{i} & 3 \\ \end{array}\right)\; . $

Da $ \left(\mathrm{M}(\iota_U\circ\pi_U)_{\underline{e}^{(n)},\underline{e}^{(n)}}\right)^2 = \mathrm{M}(\iota_U\circ\pi_U)_{\underline{e}^{(n)},\underline{e}^{(n)}}$ , ist in der Tat $ (\iota_U\circ\pi_U)^2 = \iota_U\circ\pi_U$ . Da $ \pi_U\circ\iota_U = \mathrm{id}_U$ , sollte dem auch so sein.
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006