Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Bestimmung der Vorzeichen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

1.
Bestimme alle Elemente von $ \mathrm{Sym}_4$ in Zykelschreibweise. Berechne ihre Vorzeichen.
2.
Zeige, daß in $ \mathrm{Sym}_n$ genau $ n!/2$ Elemente ein positives Vorzeichen haben für $ n\geq 2$ .

Lösung.

1.
Wir erhalten

\begin{displaymath} \mathrm{Sym}_4 \;=\; \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{id},\\... ...),\\ (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3) \\ \end{array}\right\} \end{displaymath}

Das Element der ersten Zeile hat Vorzeichen $ +1$ . Die Elemente der zweiten Zeile haben Vorzeichen $ -1$ . Die Elemente der dritten Zeile haben Vorzeichen $ +1$ . Die Elemente der vierten Zeile haben Vorzeichen $ -1$ . Die Elemente der fünften Zeile haben Vorzeichen $ +1$ .
2.
Sei $ {\mathcal A}_n := \{\sigma\in\mathrm{Sym}_n\; \vert\; \varepsilon_\sigma = +1\}\subseteq\mathrm{Sym}_n$ die Teilmenge der Permutationen positiven Vorzeichens. Es gibt wegen $ n\geq 2$ eine Bijektion

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} {\mathcal A}_n & \longrightarrow & \mathr... ..._n \\ \sigma & \mapsto & \sigma\circ (1,2)\; , \\ \end{array}\end{displaymath}

mit der Umkehrabbildung

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{Sym}_n\setminus{\mathcal A}_n & \... ..._n \\ \sigma & \mapsto & \sigma\circ (1,2)\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

In der Tat sind wegen $ \varepsilon_{\sigma\circ (1,2)} = \varepsilon_\sigma\varepsilon_{(1,2)} = -\varepsilon_\sigma$ beide Abbildungen wohldefiniert.

Damit ist

$\displaystyle \char93 {\mathcal A}_n \;=\; \frac{\char93 \mathrm{Sym}_n}{2} \;=\; \frac{n!}{2}\; . $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006