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Mathematik-Online-Lexikon:

Determinante und Inverse einer 3x3-Matrix

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Sei $ K$ ein Körper. Sei $ A = \begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}\in K^{3\times 3}$ .

1.
Berechne $ \det A$ unter Zuhilfenahme der Leibnizschen Formel.
2.
Berechne im Falle $ \det A\neq 0$ die Inverse von $ A$ unter Zuhilfenahme der Cramerschen Regel.
3.
Ist $ A$ regulär, und ist $ a_{1,1} = a_{1,2} = a_{2,1} = a_{2,2} = b$ für ein $ b\in K$ , so verschwindet der Eintrag von $ A^{-1}$ an der Position $ (3,3)$ . Zeige dies.

Lösung.

1.
Wir erhalten

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \det A & = & \sum_{\sigma\in\mathrm{Sym}_... ...{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}\; , \\ \end{array}\end{displaymath}

Liebhabern längerer Rechnungen auch als Sarrussche Formel bekannt.
2.
Die Cramersche Regel gibt

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} A^{-1} &=& \dfrac{1}{\det A} \begin{pmatr... ...+ a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1} \end{pmatrix}\; . \end{array}\end{displaymath}

Für einen expliziten Ausdruck für $ \det A$ , siehe (1).
(3)
Der Eintrag an Position $ (3,3)$ von $ A$ ist nach der Cramerschen Regel gegeben durch $ (\det A)^{-1}\det\begin{pmatrix}b&b\\ b&b\end{pmatrix} = 0$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006